LÍ THUYẾT VÀ BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

A. Tóm tắt kiến thức

1. Phương trình đường tròn

 - Đường tròn tâm I(a, b) bán kính R có phương trình là:

   (x - a)² + (y - b)² = R²    (1)

  hay:  x² + y²- 2ax - 2by + c = 0          (2)

   với c = a² + b²- R²

 - Phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính 
    .                    

* Lưu ý:

1. Trong phương trình (2):

 Hệ số: c = a² + b²- R² ⇔ R² = a² + b²- c ³ 0, đây là điều kiện giữa các hệ số a, b, c để (2) là phương trình của một đường tròn tâm I(a, b) bán kính R.

2. Phương trình đường tròn có những đặc điểm:

 - Là phương trình bậc hai đối với x và y.

 - Các hệ số của x² và y² bằng nhau.

 - Không chứa thừa số xy.

Ví dụ: Phương trình của đường tròn (C) tâm I(3, -2) bán kính R = 5 là:

  (x - 3)² + (y + 2)² = 5²⇔  x² + y²- 6x + 4y - 12 = 0
 

3. Những trường hợp đặc biệt:

Trường hợp 1. Đường tròn có tâm là gốc tọa độ:

 Trong trường hợp này ta có: 
 a = b = 0. Phương trình (1) trở thành:   x² + y² = R²

Trường hợp 2. Đường tròn đi qua gốc tọa độ:

Trong trường hợp này ta có:  R² = a² + b²

 Þ  c  = a² + b²- R² = 0

Phương trình (2) có thể viết:  x² + y²- 2ax - 2by = 0

Đây là đường tròn đi qua gốc tọa độ bán kính:  

Trường hợp 3. Đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ:

- Tiếp xúc với trục hoành:

  Khi đường tròn (C) tâm I(a, b) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A(a, 0), ta có bán kính R =

Phương trình (1) có dạng:

  (x - a)² + (y - b)²- b² = 0

 ⇔   x² + y²- 2ax - 2by + a²  = 0

 ⇔   (x - a)² + y²- 2by = 0

- Tiếp xúc với trục tung:

Tương tự, khi đường tròn (C) tiếp xúc với trục Oy tại B(b, 0), ta có phương trình:

x² + y²- 2by + b² = 0

⇔  x² + (y - b)²- 2ax = 0

Trường hợp 4.  Đường tròn xác định bởi một đường kính:

 - Tâm I là trung điểm của AB.

 - Bán kính .

Trung tâm luyện thi, gia sư - dạy kèm tại nhà NTIC Đà Nẵng