TÓM TẮT CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG

Trung tâm gia sư - dạy kèm tại nhà NTIC xin giới thiệu phần TÓM TẮT CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG nhằm hổ trợ cho các bạn có thêm tư liệu học tập. Chúc các bạn học tốt môn học này.

Ngày đăng: 14-07-2016

79,290 lượt xem

I. TÓM TẮT CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1. Công thức cộng

cos(a - b) = cosacosb + sinasinb

cos(a + b) = cosacosb - sinasinb

sin(a - b) = sinacosb - sinbcosa

sin(a + b) = sinacosb + sinbcosa

tan(a - b) = $\frac{tana -tanb}{1+tanatanb}$

tan(a + b) = $\frac{tana -tanb}{1-tanatanb}$

2. Công thức nhân đôi

sin2a = 2sinacosa

cos2a = cos² a – sin² a

tan2a = $\frac{2tana}{1-tan^{2}a}$

Hệ quả: cos2a = 2cos² a – 1 = 1 – sin² a

3. Công thức hạ bậc

cos² a = $\frac{1+cos2a}{2}$ ; cos² a = $\frac{1-cos2a}{2}$

II. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1 trang 153 sgk đại số 10

Bài 1. Tính

a) cos225⁰ , sin240⁰ , cot(-15⁰ ), tan 75⁰ ;

b) sin $\frac{7x}{12}$ , cos $\left ( -\frac{\prod }{12} \right )$ , tan $\left ( \frac{13\prod }{12} \right )$

Hướng dẫn giải:

a) + cos225⁰ = cos(180⁰ + 45⁰ ) = -cos45⁰= $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

+ sin240⁰ = sin(180⁰ + 60⁰ ) = -sin60⁰ = $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

+ cot(-15⁰ ) = -cot15⁰ = -tan75⁰ = -tan(30⁰ + 45⁰ )

$=\frac{-tan30^{0}-tan45^{0}}{1-tan30^{0}tan45^{0}}=\frac{-\frac{1}{\sqrt{3}}-1}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}=-\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=-\frac{(\sqrt{3}+1)^{2}}{2}$

= -2 - √3

+ tan 75⁰ = cot15⁰= 2 + √3

+ sin $\frac{7x}{12}$ = sin $\left ( \frac{\coprod }{3}+\frac{\coprod }{4} \right )$ = sin $\frac{\coprod }{3}$ cos $\frac{\coprod }{4}$ + cos $\frac{\coprod }{3}$ sin $\frac{\coprod }{4}$

$=\frac{\sqrt{2}}{2}\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} +\frac{1}{2}\right )=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

+ cos $\left ( -\frac{\prod }{12} \right )$ = cos $\left ( \frac{\prod }{4} -\frac{\prod }{3}\right )$ = cos $\frac{\prod }{4}$ cos $\frac{\prod }{3}$ + sin $\frac{\prod }{3}$ sin $\frac{\prod }{4}$

$=\frac{\sqrt{2}}{2}\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} +\frac{1}{2}\right )=0,9659$ $\frac{\sqrt{2}}{2}\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} +\frac{1}{2}\right )=0,9659$

+ tan $\left ( \frac{13\prod }{12} \right )$ = tan(π + $\frac{\prod }{12}$ ) = tan $\frac{\prod }{12}$ = tan $\left ( \frac{\coprod }{3}-\frac{\coprod }{4} \right )$ = $\frac{tan\frac{\prod }{3}-tan\frac{\prod }{4}}{1+tan\frac{\prod }{3}tan\frac{\prod }{4}}=\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}$

= 2 - √3

Bài 2, 3, 4, 5, 6 trang 154 sgk đại số 10

Bài 2. Tính

a) cos(α + $\frac{\prod }{3}$ ), biết sinα = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ và 0 < α < $\frac{\prod }{2}$ .

b) tan(α - $\frac{\prod }{4}$ ), biết cosα = - $\frac{1}{3}$ và $\frac{\prod }{2}$ < α < π

c) cos(a + b), sin(a - b),

biết sina = $\frac{4}{5}$ , 0⁰ < a < 90⁰ và sin b = $\frac{2}{3}$ , 90⁰ < b < 180⁰

Hướng dẫn giải:

a) Do 0 < α < $\frac{\prod }{2}$ nên sinα > 0, cosα > 0

cosα = $\sqrt{1-sin^{2}\alpha }=\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

cos(α + $\frac{\prod }{3}$ ) = cosαcos $\frac{\prod }{3}$ - sinαsin $\frac{\prod }{3}$

= $\frac{\sqrt{6}}{3}.\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}-3}{6}$

b) Do $\frac{\prod }{2}$ < α < π nên sinα > 0, cosα < 0, tanα < 0, cotα < 0

tanα = $-\sqrt{\frac{1}{cos^{2}\alpha }-1}=-\sqrt{3^{3}-1}$ = -2√2

tan(α - $\frac{\prod }{4}$ ) = $\frac{tan\alpha -tan\frac{\prod }{4}}{1+tan\alpha tan\frac{\prod }{4}}=\frac{-1-2\sqrt{2}}{1-2\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}-1}$

c) 0⁰ < a < 90⁰ => sina > 0, cosa > 0

90⁰ < b < 180⁰ => sinb > 0, cosb < 0

cosa = $\sqrt{1-sin^{2}a}=\sqrt{1-\left ( \frac{4}{5} \right )^{2}}=\frac{3}{5}$

cosb = $-\sqrt{1-sin^{2}a}=-\sqrt{1-\left ( \frac{2}{3} \right )^{2}}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$

cos(a + b) = cosacosb - sinasinb

$=\frac{3}{5}\left ( -\frac{\sqrt{5}}{3} \right )-\frac{4}{5}.\frac{2}{3}=-\frac{3\sqrt{5}+8}{15}$

Bài 3. Rút gọn các biểu thức

a) sin(a + b) + sin( $\frac{\prod }{2}$ - a)sin(-b).

b) cos( $\frac{\prod }{4}$ + a)cos( $\frac{\prod }{4}$ - a) + $\frac{1 }{2}$ sin²a

c) cos( $\frac{\prod }{2}$ - a)sin( $\frac{\prod }{2}$ - b) - sin(a - b)

Hướng dẫn giải:

a) sin(a + b) + sin( $\frac{\prod }{2}$ - a)sin(-b) = sinacosb + cosasinb - cosasinb = sinacosb

b) cos( $\frac{\prod }{4}$ + a)cos( $\frac{\prod }{4}$ - a) + $\frac{1 }{2}$ sin²a

$=\frac{1 }{2}cos\left [ \frac{\prod }{4}+a+\frac{\prod }{4} -a\right ]+\frac{1}{2}cos\left [ \left ( \frac{\prod }{4} +a\right ) -\left ( \frac{\prod }{4}-a \right )\right ]+\frac{1}{2}\left ( \frac{1-cos2a}{2} \right )$

$=\frac{1}{2}$ cos2a + $\frac{1}{4}$ (1 - cos2a) = $\frac{1+cos2a}{4 }=$ $\frac{1 }{2}$ cos²a

c) cos( $\frac{\prod }{2}$ - a)sin( $\frac{\prod }{2}$ - b) - sin(a - b) = sinacosb - sinacosb + sinbcosa

= sinbcosa

Bài 4. Chứng minh các đẳng thức

a) $\frac{cos(a-b)}{cos(a+b)}=\frac{cotacotb+1}{cotacotb-1}$

b) sin(a + b)sin(a - b) = sin²a – sin²b = cos²b – cos²a

c) cos(a + b)cos(a - b) = cos²a - sin²b = cos²b – sin²a

Hướng dẫn giải:

a) VT = $\frac{cosacosb+sinasinb}{cosacosb-sinasinb}=\frac{\frac{cosacosb}{sinasinb}+1}{\frac{cosacosb}{sinasinb}-1}=\frac{cotacotb+1}{cotacotb-1}$

b) VT = [sinacosb + cosasinb][sinacosb - cosasina]

= (sinacosb)² – (cosasinb)² = sin² a(1 – sin² b) – (1 – sin² a)sin² b

= sin²a – sin²b = cos²b( 1– cos²a) – cos² a(1 – cos² b) = cos²b – cos²a

c) VT = (cosacosb - sinasinb)(cosacosb + sinasinb)

= (cosacosb)² – (sinasinb)²

= cos² a(1 – sin² b) – (1 – cos² a)sin² b = cos² a – sin² b

= cos² b(1 – sin² a) – (1 – cos² b)sin² a = cos² b – sin² a

Bài 5. Tính sin2a, cos2a, tan2a, biết:

a) sina = -0,6 và π < a < $\frac{3\prod }{2}$ ;

b) cosa = - $\frac{5}{13}$ và $\frac{\prod }{2}$ < a < π

c) sina + cosa = $\frac{1 }{2}$ và $\frac{3\prod }{4}$ < a < π

Hướng dẫn giải:

a) π < a < $\frac{3\prod }{2}$ => sina < 0, cosa < 0, tana > 0

sin2a = 2sinacosa = 2(-0,6)(- $\sqrt{1-(0,6)^{2}}$ ) = 0,96

cos2a = cos² a – sin² a = 1 – 2sin² a = 1 - 0,72 = 0,28

tan2a = $\frac{0,96}{0,28}$ ≈ 3,1286

b) $\frac{\prod }{2}$ < a < π => sina > 0, cosa < 0

sina = $\sqrt{1-\left ( \frac{5}{13} \right )^{2}}=\frac{12}{13}$

sin2a = 2sinacosa = 2. $\frac{12}{13}\left ( -\frac{5}{13} \right )=-\frac{120}{169}$

cos2a = 2cos²a - 1 = 2 $\left ( \frac{5}{13} \right )^{2}$ - 1 = - $\frac{119}{169}$

tan2a = $\frac{sin2a}{cos2a}=\frac{120}{119}$

c) $\frac{3\prod }{4}$ < a < π => $\frac{3\prod }{2}$ < 2a < 2π => sin2a < 0, cos2a > 0, tan2a < 0

sin2a = $\frac{1}{4}$ - 1 = -0,75

cos2a = $\sqrt{1-\left ( \frac{3}{4} \right )^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{4}$

tan2a = - $\frac{3}{\sqrt{7}}$

Bài 6. Cho sin 2a = - và < a < π. Tính sina và cosa.

Hướng dẫn giải:

< a < π => sina > 0, cosa < 0

cos2a = = ±

Nếu cos2a = thì

sina =

cosa = -

Nếu cos2a = - thì

sina =

cosa = -

Bài 7,8 trang 155 sgk đại số 10

Bài 7. Biến đổi thành tích các biểu thức sau

a) 1 - sinx; b) 1 + sinx;

c) 1 + 2cosx; d) 1 - 2sinx

Hướng dẫn giải:

a) 1 - sinx = sin $\frac{\prod }{2}$ - sinx = 2cos $\frac{\frac{\prod }{2}+x}{2}$ sin $\frac{\frac{\prod }{2}-x}{2}$

= 2cos $\left ( \frac{\prod }{4} +\frac{x}{2}\right )$ sin $\left ( \frac{\prod }{4} -\frac{x}{2}\right )$

b) 1 + sinx = sin $\frac{\prod }{2}$ + sinx = 2sin $\left ( \frac{\prod }{4} +\frac{x}{2}\right )$ cos $\left ( \frac{\prod }{4} -\frac{x}{2}\right )$

c) 1 + 2cosx = 2( $\frac{1}{2}$ + cosx) = 2(cos $\frac{\prod }{3}$ + cosx) = 4cos $\left ( \frac{\prod }{6} +\frac{x}{2}\right )$ cos $\left ( \frac{\prod }{6} -\frac{x}{2}\right )$

d) 1 - 2sinx = 2( $\frac{1}{2}$ - sinx) = 2(sin $\frac{\prod }{6}$ - sinx) = 4cos $\left ( \frac{\prod }{12} +\frac{x}{2}\right )$ sin $\left ( \frac{\prod }{12} -\frac{x}{2}\right )$