1. Tổng của hai vectơ

Định nghĩa: Cho hai vectơ , .

Lấy một điểm A tùy ý, vẽ  = ,  = .

Vectơ  được gọi là tổng của hai vectơ  và .

 =  + .

2. Quy tắc hình bình hành 

Nếu ABCD là hình bình hành thì 

 +  = .

3. Tính chất của tổng các vectơ

- Tính chất giao hoán  +  =  + 

- Tính chất kết hợp ( +  ) +  =  + ( +)

- Tính chất của : + =  + .

4. Hiệu của hai vectơ

a) Vec tơ đối:

Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vec tơ  được gọi là

vec tơ đối của vec tơ , kí hiệu - .

Vec tơ đối của  là vectơ .

b) Hiệu của hai vec tơ: Cho hai vectơ , . Vec tơ hiệu của hai vectơ,

kí hiệu -  là vectơ  + (-)

                  -  =  + (-).

c) Chú ý: Với ba điểm bất kì, ta luôn có 

                   +  =            (1)

                    -  =              (2)

(1) là quy tắc 3 điểm (quy tắc tam giác) đối với tổng của hai vectơ.

(2) là quy tắc 3 điểm (quy tắc tam giác) đối với hiệu các vectơ.

5. Áp dụng 

a) Trung điểm của đoạn thẳng:

I là trung điểm của đoạn thẳng⇔   + = 

b) Trọng tâm của tam giác:

G là trọng tâm  của tam giác ∆ABC ⇔  + + = 

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB.

Vẽ các vectơ  +  và - 

Hướng dẫn giải:

Trên đoạn thẳng AB ta lấy điểm M' để có = 

Như vậy  + =  +  =  ( quy tắc 3 điểm)

Vậy vec tơ  chính là vec tơ tổng của   và 

 =  +  .

Ta lại có  -  =  + (- )

  -    =  +  (vectơ đối)

Theo tính chất giao hoán của tổng vectơ ta có

 + =  +  =  (quy tắc 3 điểm)

Vậy  -  = 

Bài 2. Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý.

Chứng minh rằng  +  =  + .

Hướng dẫn giải:

Cách 1: Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép cộng vectơ:

 =  + 

 =  + 

=>  +  =  +  + ( +)

ABCD là hình bình hành, hi vec tơ  và  là hai vec tơ đối nhau nên:

 + = 

Suy ra   +  =  + .

Cách 2. Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép trừ vec tơ

=  - 

 =  - 

=>  + =  ( +) - ( +).

ABCD là hình bình hành nên  và  là hai vec tơ đối nhau, cho ta:

           + = 

Suy ra:   +  =  + .

Bài 3. Chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kì ta luôn có 

a)  +  + + = ;

b)  - =  -.

Hướng dẫn giải:

a)  Theo quy tắc 3 điểm của tổng vec tơ, ta có

 + = ;       +  = 

Như vậy

 +  + + = (   + ) + (  + ) =  + 

mà  + =  = .

Vậy   +  + + = 

b) Theo quy tắc 3 điểm của hiệu vec tơ, ta có 

                 - =  (1)

                 - =  (2)

Từ (1) và (2) suy ra  - =  -.

Bài 4. Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành

ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng  +  + =  

Hướng dẫn giải:

Ta xét tổng:

 +  + +  + +  =  =                      (1)

Mặt khác, ta có ABIJ, BCPQ và CARS là các hình bình hành nên:

  = 

 = 

 = 

=>  ++ =  +  + =  =                   (2)

Từ (1) và (2) suy ra :  +  + =  (dpcm)

Bài 5. Cho tam giác ABC cạnh a.

Tính độ dài của các vectơ  +  và  - 

Hướng dẫn giải:

Ta có  +  = 

 =  = a

Ta có:  -  =  +.

Trên tia CB, ta dựng  = 

=>  -  =  + = 

Tam giác EAC vuông tại A và có : AC = a, CE = 2a , suy ra AE = a√3

Vậy  =  = a√3

Bài 6. Cho hình bình hành ABCD  có tâm O. Chứng minh rằng:

a)  -  = ;

b)  -  = ;

c)   - =  - ;

d)  -  +  = .

Hướng dẫn giải:

a) Ta có, theo quy tắc ba điểm của phép trừ:

                      =  -      (1)

Mặt khác,         =                 (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

 =  - .

b) Ta có :  =  -                  (1)

                 =                              (2)

Từ (1) và (2) cho ta:

 =  - .

c) Ta có :

 -  =            (1)

 -  =             (2)

 =                         (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra đpcm.

d)  -   +  =

(  - ) +  =  + =  +  ( vì  = ) = 

Bài 7. Cho ,  là hai vectơ khác. Khi nào có đẳng thức

a)  =  + ;

b)   = .

Hướng dẫn giải:

a) Ta có   =  + 

Nếu coi hình bình hành ABCd có

  =  =  và  =  =  thì   là độ dài đường chéo AC và  = AB; = BC.

Ta lại có: AC = AB + BC

Đẳng thức xảy ra khi điểm B nằm giữa hai điểm A, C.

Vậy   =  +  khi hai vectơ ,  cùng hướng.

b) Tương tự,  là độ dài đường chéo AC

                    là độ dài đường chéo BD

                      = => AC = BD.

Hình bình hành ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật,

ta có AD  AB hay   

Bài 8. Cho  = 0. So sánh độ dài,

phương và hướng của hai vectơ  và 

Hướng dẫn giải:

Từ  = 0, ta có  +  = 0    =>  = -

Điều này chứng tỏ hai vectơ có cùng độ dài  = ,

cùng phương và ngược hướng

Bài 9. Chứng minh rằng  =  

khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD  và BC trùng nhau.

Hướng dẫn giải:

Ta chứng minh hai mệnh đề.

a) Cho   =  thì AD và BC có trung điểm trùng nhau.

Gọi I là trung điểm của AD ta chứng minh I cũng là trung điểm của BC.

Theo quy tắc của ba điểm của tổng, ta có  =  + ;

                                                             = + 

Vì  =  nên  +  =  + 

                          =>  -  =  - 

                          =>  +  =  +               (1)

Vì I là trung điểm của AD nên   +  =                (2)

Từ (1) và (2) suy ra  +  =                                (3)

Đẳng thức (3) chứng tỏ I là trung điểm của BC.

b) AD và BC  có chung trung điểm I, ta chứng minh  = .

I là trung điểm của AD    =>   +  =    =>  -  =

I là trung điểm của BC    =>  +  =     =>   - = 

Suy ra   -  =   -  

         =>  +  =  +     =>   = (đpcm)

Bài 10. Cho ba lực  = ,  =  và  =  

cùng tác động vào một vât tại điểm M và đứng yên.

Cho biết cường độ của ,  đều là 100N  và  = 

Tìm cường độ và hướng của lực .

Hướng dẫn giải:

Đáp số  = 100√3 và 

 ngược hướng với hướng  với E là đỉnh thứ tư của hình bình hành MACB