HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Trung tâm luyện thi, gia sư - dạy kèm tại nhà NTIC Đà Nẵng giới thiệu phần HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC nhằm hổ trợ cho các bạn có thêm tư liệu học tập. Chúc các bạn học tốt môn học này.

Ngày đăng: 15-10-2018

2,022 lượt xem

Hoạt động 1

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH = h và BC = a, CA = b, AB = c. Gọi BH = c' và CH= b'. Hãy điền vào các ô vuông trong các hệ thức sau đây để được các hệ thức lượng trong tam giác vuông:

1. $a^{2}=b^{2}+\Box$

2. $b^{2}=a.\Box$

c^{2}=a.\Box

4. $h^{2}=b'.\Box$

5. $ah=b.\Box$

6. ${\frac {1}{\Box }}={\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}$

7. $\sin B=\sin C={\frac {\Box }{a}};\ \sin C=\cos B={\frac {\Box }{a}}$

8. $\tan B=\cot C={\frac {\Box }{c}};\ \cot B=\tan C={\frac {\Box }{b}}.$

Xét hệ thức (1.):

BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}

(1*)

đây chính là nội dung định lí Pitago trong tam giác vuông ABC (vuông A). Mặt khác, $\overrightarrow {BC}^{2}=|\overrightarrow {BC}|^{2}=BC^{2}$ nên hệ thức (1*) trở thành:

\overrightarrow {BC}^{2}=\overrightarrow {AC}^{2}+\overrightarrow {AB}^{2}

(2*)

Nếu có thể viết định lí Pitago dưới dạng các vectơ, thì có thể chứng minh định lí Pitago (2*) bằng các tính chất của vectơ"?

Thật vậy, bằng các kiến thức đã biết về vectơ ta có thể chứng minh ngắn ngọn đẳng thức (2*) như sau:

\overrightarrow {BC}^{2}=(\overrightarrow {AC}^{2}-\overrightarrow {AB})^{2}=\overrightarrow {AC}^{2}+\overrightarrow {AB}^{2}-2.\overrightarrow {AC}.\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {AC}^{2}+\overrightarrow {AB}^{2}

Như vậy, trong tam giác vuông bằng cách viết độ dài một cạnh (BC) dưới dạng vectơ ( $\overrightarrow {BC}$ ) rồi bình phương nó lên và sử dụng các tính chất của vectơ thì ta được định lí Pitago. Tò mò hơn chút, bạn cũng có thể làm như thế nhưng trong một tam giác bất kì thì bạn cũng sẽ nhận được một hệ thức.

Hệ thức gì vậy?

Bài toán: Trong tam giác ABC cho biết hai cạnh AB, AC và góc A. Hãy tính cạnh BC.

GIẢI

Ta có $BC^{2}=|\overrightarrow {BC}|^{2}={\big (}\overrightarrow {AC}-\overrightarrow {AB}{\big )}^{2}$

=\overrightarrow {AC}^{2}+\overrightarrow {AB}^{2}-2\overrightarrow {AC}.\overrightarrow {AB}

$\Rightarrow BC^{2}=\overrightarrow {AC}^{2}+\overrightarrow {AB}^{2}-2|\overrightarrow {AC}|.|\overrightarrow {AB}|.\cos A$

$\Rightarrow BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}-2AB.AC.\cos A$

$\Rightarrow BC={\sqrt {AC^{2}+AB^{2}-2AB.AC.\cos A}}$

Từ kết quả của bài toán trên được định lí sau, gọi là định lí côsin trong tam giác:

Định lí Côsin

	Trong tam giác ABC, với BC = c, CA = b, AB= c, ta có: $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A;\,$ $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B;\,$ $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C.\,$